08 - 负数和小数在计算机里长什么样

第 01 章说过，整数可以直接用二进制表示。但计算机里只有 0 和 1，没有「负号」、也没有「小数点」这种符号。那 -5 和 3.14 是怎么存的？这一章讲清楚思路，你会顺便理解一个困扰无数程序员的问题：为什么 0.1 + 0.2 ≠ 0.3？

负数：用一个 bit 当符号，但没那么简单

最朴素的想法：拿最高位当「符号位」，0 表示正、1 表示负。这叫「原码」。听起来完美，但有个麻烦：这样一来 +0 和 -0 变成两个不同的编码，而且做减法时电路要额外判断符号，很别扭。

计算机实际用的是一种更聪明的方案，叫补码（Two’s Complement）。你不需要会手算补码，只要理解它为什么值得：

补码的妙处在于——用它表示负数后，减法可以直接当加法来做，加减法用同一套电路就能搞定，不用为减法单独设计电路。

举个直觉例子：时钟是「模 12」的系统。把时针从 3 点往回拨 4 小时（减 4），结果是 11 点；而往前拨 8 小时（加 8），结果也是 11 点。所以在时钟这个系统里，「减 4」和「加 8」效果一样。补码就是利用类似的原理，把「减一个数」变成「加另一个数」。

• 好处：硬件大大简化（一套加法器通吃加减法），也没有了 +0/-0 的尴尬。
• 你只要记住结论：计算机里的负整数用「补码」存储，目的是让减法能复用加法电路。

小数：用「浮点数」，像科学计数法

小数更麻烦，因为「小数点」在哪是浮动的。计算机借用了科学计数法的思路。

回忆科学计数法：314.159 可以写成 3.14159 × 10²。它由三部分组成：符号、有效数字（尾数）、指数（小数点该往哪挪、挪几位）。

计算机里的**浮点数（Floating Point）**就是这个思路的二进制版，一个小数被拆成三部分存起来：

   符号位        指数部分            尾数部分
  (正还是负)   (小数点挪多少位)     (有效数字)

「浮点」这个名字就来自「小数点的位置是浮动的」。常见的 float（32 位）、double（64 位），区别就是给这三部分分配的 bit 多少不同——位数越多，能表示的范围越大、精度越高。

为什么 0.1 + 0.2 ≠ 0.3

这是浮点数最著名的坑。根本原因是：

很多十进制小数，用二进制根本无法精确表示，只能存一个「非常接近但不完全相等」的近似值。

类比一下：十进制里，1/3 = 0.33333… 除不尽，你只能写有限位的近似值 0.3333。同样地，0.1 换算成二进制是一个无限循环的小数，计算机位数有限，只能截断存一个近似值。

于是：

• 存进去的 0.1 其实是 0.1000000000000000055…
• 存进去的 0.2 也有微小误差
• 两者相加，误差累积，结果就成了 0.30000000000000004，不等于精确的 0.3。

这不是哪个语言的 bug，是浮点数表示方式的固有特性，几乎所有语言都这样。

实践建议（记住即可）：

• 别用 == 直接比较两个浮点数是否相等，而应判断它们的差是否小于一个极小值。
• 涉及钱的计算，不要用浮点数！要么用「整数分」来算（12.34 元存成 1234 分），要么用专门的高精度十进制类型（如 Python 的 Decimal）。

小结

• 计算机里没有负号和小数点，负数和小数都得靠「约定的编码方式」表示。
• 负整数用补码：核心好处是让减法能复用加法电路，硬件更简单（类比时钟「减 4 = 加 8」）。
• 小数用浮点数：借鉴科学计数法，拆成「符号 + 指数 + 尾数」三部分，小数点位置浮动。
• 很多十进制小数（如 0.1）在二进制里无限循环，只能存近似值，所以 0.1 + 0.2 ≠ 0.3——这是固有特性。
• 实践：别用 == 比浮点数；算钱要用整数或高精度十进制类型。

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